Étudier des suites réelles liées entre elles par une relation linéaire avec les matrices (2)

Énoncé

On considère les suites réelles  $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  et  $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  définies par :
pour tout  $n\in \mathbb{N},\{\begin{array}{l}{u}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{w}_n\\ w_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{w}_n\\ u_0=10\text{ ; }{w}_0=20\end{array}$ .

1. En posant, pour tout  $n\in \mathbb{N},$    $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ w_n\end{array}\right)$ , justifier qu'on peut écrire ce problème sous la forme matricielle  $X_{n+1}=A{X}_n$  avec  $A$  et  $X_0$  des matrices à préciser.

2. Exprimer  $X_n$  en fonction de  $A$  et de  $n$ .

3. Calculer  $A^2$  et en déduire une expression de  $A^n$  selon la parité de  $n$ .

4. En déduire une expression de  $X_n$ , puis de $u_n$  et $w_n$  en fonction de  $n$ .

5. Les suites réelles  $(u_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  et  $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$  convergent-elles ?